Eukalyptus verträgt überhaupt keine Staunässe. Ich würde die Kokosmatte auf der Erde auf jeden Fall entfernen, sonst kommt ja überhaupt keine Luft in den Wurzelbereich. Das Winterquartier sollte 10-15° haben und sehr hell sein, in dunkleren kühleren und feuchteren Winterquartieren treten auch schon mal Pilze auf den Blättern auf. Im Frühling ist auch durchaus ein robuster Rückschnitt angesagt (März). Es wird rasch ein neuer Austritt erfolgen. Das Bäumchen auf dem Foto ist allerdings noch recht klein daher würde ich nur ein wenig stutzen und alle braunen Blätter und Triebe entfernen. Oft ist das Substrat aus dem Garten Center nicht das beste. Es empfiehlt sich eine gute Kübelpflanzen Erde, wie man sie auch für Citrus verwenden würde. Eine gute Zeit zum umtopfen ist ebenfalls im März.